W ostatnich rozgrywkach regularnych, w wyniku kontuzji barku, wystąpił tylko w 36 spotkaniach, strzelając w nich jednego gola i przy 16 asystując.

Weight, czterokrotnie był powoływany na Mecz Gwiazd - All Star NHL. Trafił do ligi w drafcie w 1990 roku, wybrany przez New York Rangers. Po niespełna trzyletniej grze dla nowojorczyków na blisko dziewięć sezonów przeniósł się do Edmonton Oilers, a później występował też w barwach St. Louis Blues, Carolina Hurricanes, Anaheim Ducks i Islanders. W 2006 roku z Hurricanes po raz pierwszy i jak dotychczas jedyny w karierze sięgnął po Puchar Stanleya.

2 października 2009 roku przekroczył granicę 1000 punktów jako ósmy hokeista urodzony w USA, a 73. w historii ligi. W sumie ma za sobą 1220 spotkań w NHL, 1024 punkty, z czego 276 to bramki, a 748 to asysty. W fazie play off bilans jego gry to 97 występów, 72 punkty, 23 gole i 49 podań.

Weight zdobył też z reprezentacją Stanów Zjednoczonych srebrny medal olimpijski na igrzyskach w 2002 roku w Salt Lake City.